При планировании экспериментов необходимо включать в план исследования все факторы, которые, по мнению экспериментатора, могут влиять на параметр оптимизации. Факторы, которые по тем или иным причинам невозможно учесть в эксперименте, необходимо в течение всех опытов стабилизировать на постоянных уровнях. Как правило факторы имеют количественную оценку, хотя планирование экспериментов возможно когда некоторые факторы представлены качественно.

После выбора факторов x_i (i – номер фактора, n – число факторов, i=1…n) для каждого из них устанавливают центр эксперимента x_i⁰ и интервалы варьирования ±Δx_i. Последние следует выбирать таким образом, чтобы их величина не превышала удвоенной среднеквадратичной ошибки в определении данного фактора. Выбранные значения образуют локальную область эксперимента. Эти значения заносятся в таблицу кодирования.

При числе уровней изменения факторов q=2 все факторы варьируются на двух уровнях: нижнем x_i⁰-∆x_i и верхнем x_i⁰+∆x_i, расположенных симметрично, относительно центра эксперимента. Для упрощения и унификации записи условий опытов и облегчения обработки данных используются кодированные значения: на нижнем уровне -1 и на верхнем уровне +1:

Исходя из понимания предметной области, гипотез и предполагаемого влияния факторов на целевую переменную (параметр оптимизации), должна быть выбрана модель.

Наиболее распространенными и полно отвечающими задачам статистического моделирования являются линейные множественные регрессии со взаимодействием вида:

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). Количество всех возможных испытаний N определяется по формуле:

Количество испытаний в ПФЭ иногда значительно превосходит число определяемых коэффициентов линейной модели плана эксперимента (избыточность ПФЭ) и поэтому возникает проблема сокращения числа опытов. В связи с этим используется дробный факторный эксперимент (ДФЭ), который представляет часть (реплику) полного факторного эксперимента. Различают регулярные (деление числа экспериментов ПФЭ на число, кратное 2) и нерегулярные дробные реплики. ДФЭ обозначается какㅤ2^n-k, где k — кратность деления ПФЭ 2ⁿ на части 2^k.

Под числом степеней свободы 𝑓 понимают разность между числом опытов N и количеством значений M, вычисленных по результатам этих опытов независимо друг от друга:

Для планирования эксперимента составляется матрица планирования, в которой отражаются условия изменения уровней факторов x_i: строки соответствуют различным опытам, а столбцы — значениям факторов. Число столбцов соответствует числу слагаемых модели. Существуют “фиктивные переменные” единичного столбца х₀ и столбцов произведений х₁*х₂, х₁*х₃, х₂*х₃ и х₁*х₂*х₃, которые используются для оценки свободного члена а₀ и эффектов взаимодействия а₁₂,а₁₃,а₂₃, а₁₂₃.

Для компенсации влияния случайных погрешностей каждый опыт рекомендуется повторить m раз. Опыты, повторенные несколько раз при одних и тех же значениях факторов, называют параллельными.

В матрицу планирования могут быть добавлены столбцы среднего значения и дисперсии каждого эксперимента.

Для каждой строки матрицы планирования по результатам m параллельных опытов находят среднее арифметическое значение параметра оптимизации (целевой переменной):

С целью оценки отклонений параметра оптимизации от его среднего значения для каждой строки матрицы планирования вычисляют дисперсию опыта по данным m параллельных опытов:

Чтобы оценить принадлежность резко выделяющихся результатов yj max/min к данной нормальной совокупности и принять решение об исключении или оставлении их в составе выборки, находят отношение

которое сравнивают с табличной величиной для числа m параллельных опытов и принятого уровня значимости α и при превышении могут быть исключены (критерий Граббса)

Уровень значимости α называют также уровнем риска или доверительным уровнем вероятности, который соответственно может быть принят равным 0,05, 0,01 или 0,001. Так, например, при уровне значимости α=0,05 вероятность P верного результата P=1-α=0,95.

Если дисперсии опыта неоднородны, то исследуемая величина y не подчиняется нормальному закону. В этом случае нужно попытаться заменить y (или исключить эксперимент).

Проверка гипотезы однородности дисперсии может осуществляться с помощью F-критерия Фишера. Для этого находится отношение большей дисперсии к меньшей:

Если полученное значение Fр-критерия меньше табличного F_T для соответствующих чисел степеней свободы и принятого уровня значимости, то дисперсии однородны.

После расчета коэффициентов регрессии прежде всего следует проверить их статистическую значимость. Проверку значимости коэффициентов проводят путем сравнения абсолютной величины коэффициента с доверительным интервалом. Для определения доверительного интервала вычисляют дисперсии коэффициентов регрессии:

Альтернативным способом проверки статистической значимости коэффициента ai является расчет критерия Стьюдента по выражению

и его сравнение с табличным значением t_T, определенным для принятого уровня значимости α и числа степеней свободы 𝑓_S²y. Коэффициент значим, если t_р≥ t_T.

После расчета коэффициентов модели и проверки их значимости определяют дисперсию адекватности (остаточная дисперсия), которая характеризует рассеяние эмпирических значений y_j относительно расчетных y_i, определенных по найденному уравнению регрессии. Дисперсию адекватности определяют по формуле:

𝑓_S²ад — число степеней свободы дисперсии адекватности, равное разности между числом экспериментов и числом статистически значимых коэффициентов модели.

Гипотеза об адекватности позволяет ответить на вопрос о том, соответствует ли полученное линейное уравнение изучаемому явлению или необходима более сложная модель.

Гипотеза об адекватности линейной модели может быть принята, если расчетное значение F-критерия F_расч не превышает его табличного значения F_табл, которое имеется в специальных таблицах для выбранного уровня значимости. В случаях адекватности линейного уравнения его можно использовать для следующих этапов планирования. В противном случае его нужно дополнить членами высшего порядка.